题意：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)；给定三个值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。

思路：原来我们讲的斐波那契数列是： F(0) = 1, F(1) = 1, F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)

这道题规定了另一种斐波那契数列形式：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2)

其实原理是一样的！

我们以前快速求Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1第n项的方法是！！？？！！

构造常系数矩阵！

（一）Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据fibonacci数列的递推关系，我们希望通过乘以一个2×2的矩阵，得到矩阵【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易构造出这个2×2矩阵A，即：

０ １

１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】

又因为矩阵乘法满足结合律，故有：

【f[1],f[2]】×A n-1=【f[n],f[n+1]】

这个矩阵的第一个元素即为所求。

至于如何快速求出A n-1，相信大家都会，即递归地：n为偶数时，An=(A n/2)2；n为奇数时，An=(A n/2)2*A。

问题（一）解决。

（二）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易构造出这个3×3的矩阵A，即：

０ １ ０

１ １ ０

０ １ １

问题（二）解决。

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：

【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】

容易构造出这个4×4的矩阵A，即：

０ １ ０ ０

１ １ ０ ０

０ １ １ ０

０ １ １ １

问题（三）解决……

（四）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

虽然我们有S[n]=F[n+2]-1，但本文不考虑此方法，我们想要得到更一般的方法。

考虑（一）的矩阵A，容易发现我们要求【f[1],f[2]】×（A+A2+A3+…+AN-1）。很多人使用一种很数学的方法构造一个2r*2r（r是A的阶数，这里为2）的矩阵来计算，这种方法比较麻烦且很慢，这里不再介绍。下面考虑一种新方法。

仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：

【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】

容易得到这个3×3的矩阵是：

０ １ ０

１ １ １

０ ０ １

然后…………容易发现，这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)，比之前流行的方法好得多。

（五）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

结合（三）（四），容易想到……

考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,

我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵：

【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】

容易构造出A为：

０ １ ０ ０ ０

１ １ １ ０ ０

０ ０ １ ０ ０

０ １ ０ １ ０

０ １ ０ １ １

然后……问题解决。

一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s

可以构造矩阵A为：

０ q 0 0 0

1 p 1 0 0

0 0 1 0 0

0 r 0 1 0

0 s 0 1 1

更一般的，对于f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n)，其中0<i<=某常数c, Poly (n)表示n的多项式，我们依然可以构造类似的矩阵A来解决问题。

设Degree(Poly(n))=d, 并规定Poly(n)=0时，d=-1，此时对应于常系数线性齐次递推关系。则本方法求前n项和的复杂度为：

((c+1)+(d+1))3*logns

所以对于这道题，

我们可以根据(s[n-2], a[n-1]^2, a[n-1]*a[n-2], a[n-2]^2) * A = (s[n-1], a[n]^2, a[n]*a[n-1], a[n-1]^2)

能够求出关系矩阵

  　　  |  1  0  0  0    | 

A =    | 1 x^2 1  x   |

  　　  | 0  y^2  0 0  |

         | 0  2*x*y 0 y |

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1 #include 
      
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         3 #include 
        
          4 #include 
         
           5 #include 
          
            6 #include 
           
             7 using namespace std; 8 const int N=5; 9 const int mod=10007;10 11 typedef struct In{12 __int64 m[N][N];13 }Matrix;14 Matrix init,unit,S;15 __int64 n,x,y;16 17 void Init(){18 for(int i=1;i
            
             >=1;54 }55 return b;56 }57 58 void Debug(Matrix a){59 for(int i=1;i